Penurunan Persamaan Cosinus dan Sinus pada Segitiga Bola

Kita telah melihat persamaan cosinus dan sinus segitiga bola pada pembahasan Segitiga di Permukaan Bola. Dalam pembahasan ini, kita akan melakukan penurunan persamaan cosinus dan sinus pada segitiga bola.

Mari tinjau sebuah segitiga bola seperti yang ditunjukkan pada gambar kiri di bawah ini. Kita lakukan proyeksi segitiga bola pada bidang datar, sehingga membentuk limas segitiga terbalik, seperti pada gambar kanan di bawah ini. Perlu diingat bahwa limas segitiga terbalik ini memiliki alas DAE yang tegak lurus terhadap garis AO.

Persamaan Cosinus

Mari kita tinjau segitiga DAE pada gambar kanan di atas. Panjang DE dapat dihitung dengan cara:

Kemudian mari kita tinjau segitiga DOE pada gambar kanan di atas. Panjang DE juga dapat dihitung dengan cara:

Maka, kita dapat menghubungkan kedua persamaan untuk DE tersebut menjadi:

Dari gambar di atas, kita juga mengetahui bahwa segitiga DAO tegak lurus terhadap segitiga DAE, maka kita mendapatkan hubungan phytagoras sebagai berikut:

Selain itu, segitiga AEO juga tegak lurus terhadap segitiga DAE, hubungan phytagoras juga didapatkan yaitu:

Persamaan (**) dan (***) kemudian dapat kita substitusikan ke persamaan (*), yaitu:

Kita tinjau kembali segitiga DAO pada gambar di atas, sudut c dapat dihitung dengan cara:

Sedangkan untuk segitiga AEO, kita dapat menghitung sudut b dengan cara:

Kita dapat substitusikan persamaan (1) dan (2) ini ke persamaan (****), sehingga menjadi persamaan cosinus yang kita kenal pada pembahasan Segitiga di Permukaan Bola, yaitu:

Dengan cara yang sama, persamaan cosinus yang lainnya juga dapat diturunkan, yaitu:

Persamaan Sinus

Untuk penurunan persamaan sinus, kita dapat meninjau dari persamaan cosinus di atas, yaitu:

Kemudian kita kuadratkan persamaan di atas, menjadi:

Kita coba modifikasi persamaan di atas dengan mengimplementasikan identitas trigonometri:

Dengan demikian, persamaan cosinus:

Dapat dimodifikasi menjadi:

Dengan cara yang sama, persamaan cosinus:

Akan menghasilkan persamaan:

Dengan cara yang sama juga, persamaan cosinus:

Juga akan menghasilkan persamaan:

Perhatikan persamaan (a), (b), dan (c). Ketiga persamaan tersebut memiliki ruas kanan yang sama, sehingga kita dapat menghubungkan ketiga persamaan tersebut menjadi: