Melihat Perubahan Kecepatan Orbit Elips dari Hukum II Kepler

Hukum II Kepler menyatakan bahwa dalam rentang waktu yang sama, meski planet berada pada jarak yang berbeda dari Matahari, luas yang disapu oleh planet tersebut pada orbitnya akan selalu sama. Lebih jelasnya kita dapat melihat pada gambar di bawah ini. Misalkan sebuah planet bergerak dari titik P₁ ke titik P₂ dalam rentang waktu Δt di sekitar perihelium. Kemudian dengan rentang waktu yang sama, planet itu bergerak dari titik P₃ ke titik P₄ di sekitar aphelium. Maka, luas area yang disapu planet pada kedua daerah yang berbeda tadi (juring P₁-Matahari-P₂ dan juring P₃-Matahari-P₄) adalah sama, karena rentang waktunya sama.

Pembuktian

Bagaimana kita bisa memastikan bahwa luas daerah yang disapu planet pada gambar di atas adalah sama? Untuk membuktikan ini, kita coba lakukan analisis secara matematis. Bayangkan sebuah juring seperti pada gambar kiri di bawah ini, juring ini adalah area yang disapu oleh planet, seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas. Juring ini dapat kita potong-potong dalam bentuk segitiga sama kaki yang berukuran sangat kecil. Dengan kata lain, juring itu dapat dibentuk dari sekumpulan segitiga sama kaki.

Sekarang kita tinjau sebuah segitiga sama kaki (gambar di atas pada bagian kanan) yang merupakan salah satu elemen yang membentuk juring tersebut (gambar di atas pada bagian kiri). Misalkan luas segitiga tersebut adalah dA dengan panjang kedua sisinya sebesar r dan sudut yang diapit oleh kedua sisi itu sebesar dθ. Karena ini adalah elemen segitiga sama sisi yang sangat kecil, kita dapat mengambil penyederhanaan bahwa tinggi segitiga ini juga sebesar r dan alasnya sebesar rdθ. Maka, luas elemen segitiga tersebut dapat ditulis sebagai:

Ini adalah luas satu elemen segitiga yang membentuk juring. Jika ingin menghitung luas juring tersebut, maka kita dapat melakukan integral pada persamaan di atas (namun kita tidak akan melakukan hal semacam itu dalam pembahasan ini). Selanjutnya, kita perlu menguji apakah terjadi perubahan luas elemen segitiga ini terhadap waktu (dA/dt). Jika nilai dA/dt konstan, maka luas area akan selalu sama untuk rentang waktu yang sama, seperti yang dijelaskan oleh Hukum II Kepler. Secara matematis, dA/dt dapat ditulis sebagai berikut:

Kita tahu bahwa kecepatan sudut orbit dapat ditulis sebagai:

Maka, persamaan dA/dt dapat diubah menjadi:

Jika sebuah objek bermassa m memiliki jarak r dan kecepatan orbit ω seperti pada persamaan di atas, maka momentum sudut orbit objek tersebut dapat ditulis sebagai:

Sehingga, persamaan dA/dt sekarang dapat disederhanakan lagi menjadi:

Dimana nilai massa dan momentum sudut orbit untuk sebuah objek selalu tetap, jika tidak ada pengaruh luar yang mempengaruhi perubahan massa dan gerak objek itu di dalam orbitnya. Dengan demikian, dA/dt bernilai konstan. Artinya, dalam rentang waktu yang sama, luas area yang dibentuk akan selalu sama. Inilah yang terjadi pada orbit planet-planet dan benda langit lainnya yang telah dijelaskan oleh Hukum II Kepler.

Konsekuensi

Agar selalu menyapu luas area yang sama dalam rentang waktu yang sama, planet harus menyesuaikan kecepatan orbitnya pada jarak yang berbeda-beda. Secara umum, kecepatan orbit elips dapat ditulis sebagai:

dengan G dan M masing-masing adalah konstanta gravitasi dan total massa planet-Matahari. Sedangkan r dan a masing-masing adalah jarak planet ke Matahari pada posisi tertentu dan jarak rata-rata planet ke Matahari. Dari persamaan kecepatan orbit itu, kita dapat melihat bahwa semakin kecil nilai r, kecepatan orbit seharusnya semakin besar. Hal sebaliknya terjadi untuk nilai r yang semakin besar. Dengan demikian, saat planet berada di sekitar perihelium (jarak terdekatnya), kecepatan orbitnya akan meningkat. Sedangkan saat planet berada di sekitar aphelium (jarak terjauhnya), kecepatan orbitnya akan mengecil.

Kecepatan orbit planet saat di perihelium (v_p) dan di aphelium (v_ap) masing-masing dapat ditulis sebagai:

Maka, kita dapat menghitung perbandingan kedua kecepatan orbit itu, yaitu:

Persamaan untuk r_p dan r_ap dapat dilihat pada pembahasan Geometri Orbit Elips Benda Langit. Dari persamaan r_p dan r_ap ini, kita dapat menyederhanakan persamaan perbandingan kecepatan orbit di atas menjadi:

Dengan demikian, perbandingan kecepatan orbit saat di perihelium dan aphelium hanya bergantung dengan eksentrisitas orbit (e) planet itu.