Geometri Orbit Elips Benda Langit

Hukum I Kepler menunjukkan bahwa planet-planet mengelilingi Matahari dalam lintasan elips, dengan Matahari berada di salah satu titik fokus dari orbit elips itu. Dalam artikel ini, kita akan membahas geometri dari orbit elips dan bagaimana menerapkan tinjauan geometri ini untuk mengukur parameter-parameter yang berguna dalam astronomi. Perhatikan ilustrasi orbit elips di bawah ini.

Jarak Objek dalam Orbit Elips

Dalam orbit elips, jarak objek (dalam hal ini adalah planet) ke objek pusat (dalam hal ini adalah Matahari) selalu berubah-ubah di tiap posisi. Saat di titik P₁ dan titik P₄, planet masing-masing berada pada jarak periheliumnya (r_p, P₁-f₁) dan apheliumnya (r_ap, P₄-f₁). Sedangkan saat planet berada di titik P₃ dan P₅, jarak planet ke Matahari sama dengan setengah sumbu panjang orbitnya (a). Secara umum, jarak planet ke Matahari pada sudut fase yang berubah-ubah dapat ditulis dalam persamaan sebagai berikut:

Dengan θ adalah sudut fase yang dihitung dari titik perihelium ke arah yang berlawanan dengan gerak jarum jam dan e adalah eksentrisitas orbit elips.

Dari persamaan di atas, kita dapat menurunkan persamaan untuk jarak perihelium (r_p) dan jarak aphelium (r_ap), yaitu:

- Saat objek di titik perihelium, sudut fase bernilai θ = 0°. Maka, jarak perihelium adalah:

- Saat objek di titik aphelium, sudut fase bernilai θ = 180°. Maka jarak aphelium adalah:

Komponen Utama Pembentuk Orbit Elips

Kita perlu mengetahui tiga parameter utama pembentuk orbit elips, yaitu:

1. Setengah sumbu panjang orbit (a)

Parameter ini dapat dihitung dari titik perihelium atau titik aphelium ke titik pusat orbit elips (O). Selain itu, jarak dari titik P₃ atau P₅ ke salah satu titik fokus orbit (f₁ atau f₂) juga setara dengan a. Coba perhatikan gambar orbit elips di atas, nilai a dapat dihitung dengan persamaan:

2. Panjang atau jarak fokus orbit (c)

Panjang fokus dihitung dari salah satu titik fokus orbit (f₁ atau f₂) ke titik pusat orbit elips (O). Dari gambar orbit elips di atas, nilai c dapat dihitung dengan cara:

3. Setengah sumbu pendek orbit (b)

Setengah sumbu pendek orbit terletak tegak lurus terhadap setengah sumbu panjang orbit (a) dan melewati titik pusat (O). Dapat dihitung dari titik P₃ atau titik P₅ ke titik pusat orbit elips (O). Dari segitiga siku-siku O-f₁-P₃ pada gambar orbit elips di atas, kita dapat menurunkan hubungan a-b-c dalam dalil phytagoras, yaitu:

Eksentrisitas dan Elipstisitas

Seberapa elips orbit sebuah objek langit dapat dilihat dari nilai eksentrisitas dan elipstisitasnya. Eksentrisitas (e) dan elipstisitas (E) masing-masing dapat dihitung dengan cara:

Biasanya, eksentrisitas lebih sering digunakan untuk melihat elipstisitas orbit elips. Hal ini salah satunya dikarenakan parameter c dan a lebih mudah untuk ditentukan daripada parameter b.

Nilai eksentrisitas ini juga dapat digunakan untuk melihat jenis orbit, perhatikan gambar di atas dan ringkasan di bawah ini:

• e = 0, orbit lingkaran
• 0 < e < 1, orbit elips
• e = 1, orbit parabola
• e > 1, orbit hiperbola

Selain itu, antara eksentrisitas dan elipstisitas terdapat hubungan matematis yang dapat diturunkan dari dalil Phytagoras a-b-c, yaitu:

Kita bagi ruas kiri dan ruas kanan dengan a, maka:

Karena:

Maka didapatkan:

Persamaan Bidang untuk Orbit Elips

Secara matematis, bentuk elips dapat dituliskan dalam sebuah persamaan bidang, yaitu:

Persamaan elips di atas berpusat di titik (x_c, y_c). Jika persamaan elips berpusat di titik (0, 0), maka:

Parameter a dan b masing-masing adalah setengah sumbu panjang dan setengah sumbu pendek dari persamaan elips. Persamaan bidang ini dapat digunakan untuk menentukan posisi objek langit pada orbit elips di dalam koordinat kartesian. Jarak objek ke objek pusat untuk persamaan bidang elips dalam koordinat kartesian dapat ditulis sebagai: