Memahami Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dan kombinasi adalah dua aturan dasar dalam matematika untuk menentukan banyak cara dalam menyusun objek. Dalam Astronomi, pemahaman dasar kedua aturan ini sering diimplementasi dalam teknik-teknik komputasi untuk pemodelan peristiwa-peristiwa Astrofisika. Sebagai contoh, Astronom ingin mengetahui apakah ada bintang yang pernah mengalami papasan dekat dengan Matahari kita dan seperti apa kinematika dari bintang yang mememungkinkan untuk mengalami papasan dekat dengan Matahari. Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu melakukan pemodelan peristiwa papasan dekat tersebut secara komputasi, karena tidak mungkin mengamati peristiwa itu secara langsung pada seluruh bintang di langit. Astronom itu perlu mendefinisikan nilai awal untuk posisi dan kecepatan dari bintang tersebut terhadap pusat galaksi Bimasakti. Posisi dan kecepatan awal bintang itu kemudian akan dibuat dalam berbagai nilai yang berada pada rentang ketidakpastian tertentu. Dalam hal ini, kita dapat saja memiliki puluhan, ratusan, bahkan ribuan kemungkinan dari kombinasi nilai posisi dan kecepatan bintang. Kemudian tiap nilai posisi dan kecepatan itu dimasukkan dalam model persamaan fisika dan diproses secara komputasi, hasil dari pemodelan ini adalah jarak bintang ke Matahari. Tiap nilai posisi dan kecepatan yang dimasukkan tadi akan memberikan jarak bintang ke Matahari yang berbeda-beda. Dari hasil ini, kita dapat menganalisis posisi dan kecepatan seperti apa yang memungkinkan untuk terjadinya papasan dekat dengan Matahari. Probabilitas kejadian papasan dekat dengan Matahari pun dapat dihitung dari pemodelan tadi. Penentuan berbagai nilai posisi dan kecepatan awal bintang, serta perhitungan probabilitas papasan dekat dengan Matahari inilah yang membutuhkan pemahaman mengenai permutasi dan kombinasi.

Contoh grafik yang melibatkan perhitungan probabilitas pada hasil pekerjaan Darma et al. (2019) - The Implementation of Markov Chain Monte Carlo on the Study of Star Cluster Membership in Open Cluster NGC 3766 and Globular Cluster 6366. Credit: Darma et al. (2019).

Perbedaan antara permutasi dan kombinasi dapat dilihat di bawah ini:

• Permutasi adalah aturan penyusunan objek yang memperhatikan urutan objek-objek tersebut.
  Sebagai contoh:
  Terdapat 3 murid, yaitu Andi, Beni, dan Coki. Akan dilakukan pemilihan ketua dan wakil ketua kelas dari 3 murid tersebut. Maka, kemungkinan ketua dan wakil ketua yang terpilih adalah sebagai berikut:
  
  

  Ketua	Wakil Ketua
  Andi	Beni
  Andi	Coki
  Beni	Andi
  Beni	Coki
  Coki	Beni
  Coki	Andi

  
  
  Dengan demikian, terdapat 6 kemungkinan yang dapat terjadi.

• Kombinasi adalah aturan penyusunan objek tanpa memperhatikan urutan objek-objek tersebut.
  Sebagai contoh:
  Terdapat 3 murid, yaitu Andi, Beni, dan Coki. Akan dilakukan pemilihan pemain ganda putra dari 3 murid tersebut untuk mengikuti pertandingan bulu tangkis. Maka, kemungkinan pemain ganda putra yang terpilih adalah:
  Pemain: Andi-Beni, Andi-Coki, atau Beni-Coki.
  Sehingga, hanya terdapat 3 kemungkinan yang dapat terjadi. Perlu diperhatikan, dalam kasus ini, Beni-Andi = Andi-Beni, Coki-Andi = Andi-Coki, dan Coki-Beni = Beni-Coki, karena urutan tidak diperlukan. Oleh karena itu, hanya ada 3 kemungkinan saja, bukan 6.

a. Permutasi

Ada beberapa kasus dalam permutasi, antara lain:

1. Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

Dalam kasus ini, kita memiliki n elemen. Kemudian kita ingin melakukan permutasi dari n unsur dari n elemen tersebut. Maka, banyak cara untuk melakukan permutasi ini adalah:

Sebagai contoh:

Seorang milyarder ingin membangun 3 buah rumah secara berurutan. Maka, banyaknya cara untuk membangun 3 rumah tersebut dengan urutan yang berbeda adalah:

Terdapat 6 cara untuk membangun 3 buah rumah secara berurutan.

2. Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen, dengan r < n (permutasi tanpa pengulangan)

Tersedia n elemen. Kemudian kita lakukan permutasi r unsur dari n elemen tadi, dengan catatan bahwa nilai r tidak lebih dari nilai n. Maka, banyak cara untuk melakukan permutasi adalah:

Sebagai contoh:

Kita gunakan kasus Andi, Beni, dan Coki dalam pemilihan ketua dan wakil ketua kelas, seperti yang dijelaskan di atas. Dalam kasus ini:

n = 3, berasal dari total murid yang mencalonkan diri (Andi, Beni, dan Coki).

r = 2, berasal dari jumlah posisi yang direbutkan (ketua dan wakil ketua kelas).

Maka, banyaknya permutasi adalah:

Terdapat 6 kemungkinan.

3. Permutasi dari n unsur yang mengandung r, s, dan t unsur yang sama

Bayangkan kita memiliki n unsur. Dari n unsur tersebut, terdapat beberapa unsur yang sama. Misal:

- Terdapat r unsur yang sama untuk unsur yang bernama X,

- Terdapat s unsur yang sama untuk unsur yang bernama Y,

- Terdapat t unsur yang sama untuk unsur yang bernama Z.

Maka, banyak cara untuk melakukan permutasi adalah:

Sebagai contoh:

Dari kata “RENDYDARMA”, berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk menyusun kata tersebut menjadi kata lain?

Terdapat 604.800 cara untuk menyusun huruf-huruf tersebut.

4. Permutasi siklis

Permutasi siklis berlaku khusus untuk kasus-kasus mengenai urutan melingkar. Misalkan terdapat n unsur. Kemudian kita ingin meletakkan n unsur tersebut dalam urutan yang melingkar. Maka, banyaknya cara untuk melakukan permutasi ini adalah:

Sebagai contoh:

Dalam sebuah rapat, terdapat 6 buah kursi yang disusun melingkar. Keenam kursi tersebut akan diisi oleh 6 orang yang berbeda. Maka, banyaknya cara agar keenam orang tersebut dapat duduk di keenam kursi itu adalah:

Dengan demikian, terdapat 120 cara.

5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur (permutasi pengulangan)

Misal kita memiliki n unsur. Kemudian dilakukan permutasi k unsur dari n unsur tersebut, dimana n unsur ini dapat muncul berulang di sepanjang k unsur tersebut. Maka, banyak cara untuk melakukan permutasi adalah:

Sebagai contoh:

Plat kendaraan terdiri dari 4 angka yang berasal dari kombinasi angka 0-9. Berapa banyak plat kendaraan 4 angka yang dapat dibentuk dari angka 0-9?

Perhatikan tabel di bawah ini:

Urutan Angka di Plat	Ke-1	Ke-2	Ke-3	Ke-4
Kemungkinan angka yang dapat diisi	0-9	0-9	0-9	0-9
Jumlah kemungkinan angka yang dapat diisi	10	10	10	10

Dapat dilihat bahwa pada angka pertama, kita dapat memasukkan angka 0-9. Artinya terdapat 10 kemungkinan angka berbeda yang dapat digunakan untuk angka pertama di plat kendaraan. Kondisi yang sama juga berlaku untuk angka kedua, ketiga, dan keempat plat kendaraan. Sehingga, kasus ini memenuhi permutasi berulang, dengan:

- n unsur adalah 10, berasal dari total angka antara 0 hingga 9.

- k unsur adalah 4, berasal dari jumlah angka pada plat kendaraan.

Dengan demikian, banyaknya permutasi yang dapat dilakukan adalah:

Artinya terdapat 10.000 plat kendaraan yang dapat dihasilkan dari kombinasi angka 0-9.

b. Kombinasi

Secara umum, kombinasi dapat dibedakan menjadi dua, yaitu:

1. Kombinasi Tanpa Pengulangan

Misalkan kita memiliki n elemen. Kemudian dilakukan pengambilan r unsur dari n elemen tersebut, dengan syarat bahwa tiap unsur yang diambil tersebut hanya bisa dipilih sekali saja karena jumlah tiap unsur hanya satu (tidak identik). Secara matematis, banyaknya kombinasi pada kasus ini dapat ditulis sebagai:

Sebagai contoh:

Seorang wanita memiliki 5 pasang sepatu dengan warna yang berbeda, yaitu hitam, putih, cokelat, abu-abu, dan vanilla. Hari ini ia ingin membawa 2 pasang sepatu untuk pergi berlibur. Maka banyaknya kombinasi kemungkinan 2 pasang sepatu yang ia bawa adalah:

Dengan demikian, ada 5 kemungkinan cara yang dapat dilakukan oleh wanita itu.

2. Kombinasi Pengulangan

Dalam kasus ini, misalkan kita memiliki n elemen. Kemudian lakukan pengambilan r unsur dari n elemen tersebut, namun tiap unsur yang diambil tadi dapat dipilih lebih dari sekali. Maka, banyaknya kombinasi dapat ditulis sebagai:

Sebagai contoh:

Seorang ibu mengunjungi toko buah. Toko tersebut menjual 4 jenis buah-buahan, yaitu apel, pisang, anggur, dan mangga. Si ibu ingin membeli 5 buah-buahan secara acak, tanpa memperdulikan jenis buahnya. Artinya, si ibu dapat saja membeli 5 buah apel atau 5 buah pisang atau 3 buah apel dan 2 pisang atau kemungkinan-kemungkinan lainnya. Dari sini, kita bisa melihat bahwa tiap jenis buah dapat dipilih lebih dari sekali karena tiap jenis buah memiliki jumlah yang banyak.

Maka, banyaknya cara agar si ibu dapat memilih 5 buah-buahan itu adalah:

Dengan demikian, terdapat 56 cara untuk memilih 5 buah-buahan secara acak.